蒙特卡羅方法的核心思想 蒙特卡羅方法
1、蒙特卡羅方法(Monte Carlo method)是一種通過(guò)隨機(jī)變量的數(shù)字模擬和統(tǒng)計(jì)分析來(lái)求取數(shù)學(xué)物理、工程技術(shù)問(wèn)題近似解的數(shù)值方法,利用這種方法求解問(wèn)題的過(guò)程可以歸納為下列三個(gè)基本步驟:(1)隨機(jī)變量的抽樣試驗(yàn)。
2、按基本隨機(jī)變量(輸入隨機(jī)變量)的已知概率分布進(jìn)行隨機(jī)抽樣(數(shù)字模擬)。
3、(2)樣本反應(yīng)求解。
(資料圖)
4、對(duì)每個(gè)抽取的樣本,按問(wèn)題的性質(zhì)采用確定性的控制數(shù)學(xué)、物理方程求取樣本反應(yīng)。
5、(3)計(jì)算反應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)。
6、對(duì)所有樣本反應(yīng),按所求解答的類(lèi)型分別求取輸出隨機(jī)變量的均值、方差或概率分布。
7、當(dāng)求解確定性問(wèn)題時(shí),首先,要根據(jù)所提出的問(wèn)題構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單、適用的概率模型,使問(wèn)題的解對(duì)應(yīng)于該模型中隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征(如概率、數(shù)學(xué)期望、方差等);然后,在高速運(yùn)行的計(jì)算機(jī)上生成隨機(jī)數(shù),并對(duì)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析試驗(yàn);最后,利用試驗(yàn)所獲結(jié)果求出統(tǒng)計(jì)特征的估計(jì)值作為問(wèn)題的近似解。
8、總結(jié)以上思想,可以得出利用蒙特卡羅方法求解確定性問(wèn)題的基本步驟為:(1)根據(jù)所要求解的實(shí)際問(wèn)題來(lái)構(gòu)造概型,并使概型的某些統(tǒng)計(jì)特征恰好相當(dāng)于所要求的問(wèn)題的解。
9、(2)根據(jù)所建立的概率模型,設(shè)計(jì)、使用一些加速收斂的方法,以求加速收斂并提高計(jì)算精度。
10、(3)給出在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生概型中各種不同分布隨機(jī)變量的方法。
11、(4)統(tǒng)計(jì)處理模擬結(jié)果,給出問(wèn)題的近似解并做解的精度估計(jì)。
12、蒙特卡羅方法雖然可以求解許多確定性工程技術(shù)問(wèn)題,但其獨(dú)到之處還應(yīng)該在于求解隨機(jī)性問(wèn)題。
13、用蒙特卡羅方法求解隨機(jī)性問(wèn)題時(shí),一般首先,根據(jù)問(wèn)題的物理性質(zhì)建立隨機(jī)模型;然后,再根據(jù)模型中各個(gè)隨機(jī)變量的分布,在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),進(jìn)行大量的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn),以取得所求問(wèn)題的大量試驗(yàn)值;最后,根據(jù)這些試驗(yàn)結(jié)果求它的統(tǒng)計(jì)特征量,從而獲得所求問(wèn)題的解。
14、由此可見(jiàn),用蒙特卡羅方法求解隨機(jī)問(wèn)題的步驟與求解確定性問(wèn)題的步驟基本一致。
15、總之,蒙特卡羅方法的理論基礎(chǔ)是概率論中的大數(shù)定律。
16、設(shè)在N次獨(dú)立試驗(yàn)中,n為事件A出現(xiàn)的次數(shù),而P(A)為事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率,貝努利大數(shù)定律指出,對(duì)于任意ε>0,當(dāng) N→∞時(shí),事件 A 出現(xiàn)的頻率的概率收斂于事件的概率。
17、即地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理當(dāng)隨機(jī)變量滿(mǎn)足獨(dú)立分布時(shí),若隨機(jī)變量序列ξ1,ξ2,…,ξN的分布相同,ξi具有有限的數(shù)學(xué)期望E(ξi)=a,i=1,2,…,N,則根據(jù)柯欠莫哥洛夫大數(shù)定律,對(duì)于任意的ε>0,當(dāng)N→∞時(shí),變量ξi 將以概率1收斂于期望值 a,即地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理在蒙特卡羅方法中,采用簡(jiǎn)單抽樣方法進(jìn)行隨機(jī)變量的數(shù)字模擬,因此其所抽取的子樣為具有同分布性質(zhì)的獨(dú)立隨機(jī)變量,當(dāng)抽取的樣本個(gè)數(shù)足夠大時(shí),樣本均值將以概率1收斂于分布均值,而事件 A 出現(xiàn)的頻率則以概率收斂于事件A 出現(xiàn)的概率,這樣就保證了蒙特卡羅方法的概率收斂性。
18、2.1.1 均勻分布隨機(jī)數(shù)的生成根據(jù)所求解問(wèn)題性質(zhì)的不同,其基本隨機(jī)變量可能屬于不同的概率分布,為了產(chǎn)生不同分布類(lèi)型的隨機(jī)變量的抽樣值(隨機(jī)數(shù)),一般需先產(chǎn)生一個(gè)在[0,1]上均勻分布的隨機(jī)變量的抽樣值,然后按照給定的概率分布類(lèi)型將其轉(zhuǎn)化為所需隨機(jī)變量的抽樣值。
19、因此,均勻分布隨機(jī)變量隨機(jī)數(shù)的生成是蒙特卡羅方法實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)。
20、利用數(shù)值法產(chǎn)生的均勻隨機(jī)變量的抽樣值稱(chēng)之為偽隨機(jī)數(shù),這是因?yàn)閿?shù)值方法的基礎(chǔ)是某一數(shù)學(xué)遞推公式,按這類(lèi)遞推公式產(chǎn)生的抽樣與[0,1]均勻分布中的抽樣在統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上不可能完全相同。
21、數(shù)學(xué)遞推公式的一般形式是:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理式中:f(xn,xn-1,…,xn-k)——某一給定的函數(shù)形式。
22、根據(jù)這一函數(shù)式,當(dāng)給定一組初值,x0,x-1,…,x-k后,便可依次求出x1,x2,…,xm…最常用的(0,1)均勻分布隨機(jī)數(shù)生成的遞推公式有:(1)乘同余法。
23、用以產(chǎn)生(0,1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的遞推公式為:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理式中:λ,M和x0——預(yù)先給定的常數(shù)。
24、式(2.4)的意義是指以 M 除以λxi-1后得到的余數(shù)記為 xi。
25、由于是余數(shù),所以,即有:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理如此所得的隨機(jī)數(shù)序列r1,r2,…,ri為具有(0,1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。
26、由式(2.4)不難看出,不同的xi最多只能有M個(gè),相應(yīng)地不同的隨機(jī)數(shù)ri也最多只能有M個(gè)。
27、所以當(dāng)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)ri個(gè)數(shù)多于M個(gè)時(shí),就會(huì)出現(xiàn)循環(huán)數(shù),這樣,便再不能看成是隨機(jī)數(shù)。
28、為了使所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)能經(jīng)得住數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的獨(dú)立性和均勻性檢驗(yàn),需要合理選擇隨機(jī)數(shù)生成參數(shù)x0,λ及M。
29、表2.1所列為幾個(gè)經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)的參數(shù),以供參考。
30、表2.1(2)混合同余法。
31、混合同余法的遞推公式為:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理通過(guò)適當(dāng)?shù)剡x取參數(shù),可以改變偽隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。
32、其他有關(guān)偽隨機(jī)數(shù)的生成技術(shù)讀者可參閱文獻(xiàn)[32,41]。
33、2.1.2 任意分布隨機(jī)數(shù)的生成任意分布隨機(jī)數(shù)的生成是以(0,1)均勻分布隨機(jī)數(shù)為基礎(chǔ),通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換來(lái)形成。
34、可以證明有下列任意分布隨機(jī)數(shù)生成公式。
35、(1)(a,b)上均勻分布隨機(jī)數(shù)的生成公式為:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理(2)具有指數(shù)分布概率密度f(wàn)(x)=λe-λx(x≥0)的隨機(jī)數(shù)生成公式為:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理(3)正態(tài)分布N(0,1)隨機(jī)數(shù)生成公式為:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理(4)正態(tài)分布N(μ,σ)隨機(jī)數(shù)生成公式為:將式(2.8)的xi代入式:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理即可得 N(μ,σ)分布隨機(jī)數(shù)上述各式中的ri 為(0,1)均勻分布隨機(jī)數(shù)。
36、2.1.3 隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)為了進(jìn)一步了解所生成的隨機(jī)數(shù)是否具有我們所需要的隨機(jī)數(shù)特性,往往需要對(duì)所生成的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn),均勻性檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)。
37、參數(shù)檢驗(yàn)主要是為了檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)的子樣均值和理論均值的差異是否顯著,(0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量R的期望值和方差分別為:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理設(shè)隨機(jī)變數(shù)R共有n個(gè)觀測(cè)值r1,r2,…,rn,則由中心極限定理得知:式中:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理漸近服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1),可以進(jìn)行 U 檢驗(yàn)。
38、當(dāng)給定顯著性水平后,即可根據(jù)正態(tài)分布表確定臨界值,據(jù)此判斷-r 與其期望值E(R)之差異是否顯著,從而決定能否把 r1,r2,…,rn看做是(0,1)均勻分布隨機(jī)變量 R 的n 個(gè)獨(dú)立取值。
39、均勻性檢驗(yàn)又稱(chēng)頻率檢驗(yàn),它檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)頻率與理論頻率的差異是否顯著。
40、把(0,1)區(qū)間分成 k 等份,以(i=1,2,…,k)表示第 i 個(gè)小區(qū)間,如 rs 是(0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量 R 的一個(gè)取樣值,則它落在任一小區(qū)間的概率 Pi均勻等于這些小區(qū)間的長(zhǎng)度,故 n 個(gè)值落在任一個(gè)小區(qū)間的平均數(shù)為mi=nPi=n/k,設(shè) n 個(gè)rs 值落入第i 個(gè)小區(qū)間有ni個(gè),則統(tǒng)計(jì)量:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理漸近地服從χ2(k-1)分布。
41、據(jù)此可進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。
42、獨(dú)立性檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)r1,r2,…,中前后各數(shù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性是否顯著。
43、兩個(gè)隨機(jī)變數(shù)的相關(guān)系數(shù)反映它們之間的線性相關(guān)程度,若兩個(gè)隨機(jī)變數(shù)相互獨(dú)立,則它們的相關(guān)系數(shù)ρK=0,故可通過(guò)相關(guān)系數(shù)來(lái)檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)的獨(dú)立性。
44、設(shè)給定n個(gè)隨機(jī)數(shù)r1,r2,…,rn,前后距離為k的樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為:式中:地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理當(dāng)獨(dú)立性假設(shè)(ρ=0)成立時(shí),則當(dāng) n 充分大(如 n>50+k)時(shí),統(tǒng)計(jì)量 U=漸近地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),故可進(jìn)行 U 檢驗(yàn)。
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