1、蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）是一種通過隨機(jī)變量的數(shù)字模擬和統(tǒng)計(jì)分析來求取數(shù)學(xué)物理、工程技術(shù)問題近似解的數(shù)值方法，利用這種方法求解問題的過程可以歸納為下列三個基本步驟：（1）隨機(jī)變量的抽樣試驗(yàn)。

2、按基本隨機(jī)變量（輸入隨機(jī)變量）的已知概率分布進(jìn)行隨機(jī)抽樣（數(shù)字模擬）。

(相關(guān)資料圖)

3、（2）樣本反應(yīng)求解。

4、對每個抽取的樣本，按問題的性質(zhì)采用確定性的控制數(shù)學(xué)、物理方程求取樣本反應(yīng)。

5、（3）計(jì)算反應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)。

6、對所有樣本反應(yīng)，按所求解答的類型分別求取輸出隨機(jī)變量的均值、方差或概率分布。

7、當(dāng)求解確定性問題時(shí)，首先，要根據(jù)所提出的問題構(gòu)造一個簡單、適用的概率模型，使問題的解對應(yīng)于該模型中隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征（如概率、數(shù)學(xué)期望、方差等）；然后，在高速運(yùn)行的計(jì)算機(jī)上生成隨機(jī)數(shù)，并對隨機(jī)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析試驗(yàn)；最后，利用試驗(yàn)所獲結(jié)果求出統(tǒng)計(jì)特征的估計(jì)值作為問題的近似解。

8、總結(jié)以上思想，可以得出利用蒙特卡羅方法求解確定性問題的基本步驟為：（1）根據(jù)所要求解的實(shí)際問題來構(gòu)造概型，并使概型的某些統(tǒng)計(jì)特征恰好相當(dāng)于所要求的問題的解。

9、（2）根據(jù)所建立的概率模型，設(shè)計(jì)、使用一些加速收斂的方法，以求加速收斂并提高計(jì)算精度。

10、（3）給出在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生概型中各種不同分布隨機(jī)變量的方法。

11、（4）統(tǒng)計(jì)處理模擬結(jié)果，給出問題的近似解并做解的精度估計(jì)。

12、蒙特卡羅方法雖然可以求解許多確定性工程技術(shù)問題，但其獨(dú)到之處還應(yīng)該在于求解隨機(jī)性問題。

13、用蒙特卡羅方法求解隨機(jī)性問題時(shí)，一般首先，根據(jù)問題的物理性質(zhì)建立隨機(jī)模型；然后，再根據(jù)模型中各個隨機(jī)變量的分布，在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行大量的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，以取得所求問題的大量試驗(yàn)值；最后，根據(jù)這些試驗(yàn)結(jié)果求它的統(tǒng)計(jì)特征量，從而獲得所求問題的解。

14、由此可見，用蒙特卡羅方法求解隨機(jī)問題的步驟與求解確定性問題的步驟基本一致。

15、總之，蒙特卡羅方法的理論基礎(chǔ)是概率論中的大數(shù)定律。

16、設(shè)在N次獨(dú)立試驗(yàn)中，n為事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而P（A）為事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，貝努利大數(shù)定律指出，對于任意ε＞0，當(dāng) N→∞時(shí)，事件 A 出現(xiàn)的頻率的概率收斂于事件的概率。

17、即地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理當(dāng)隨機(jī)變量滿足獨(dú)立分布時(shí)，若隨機(jī)變量序列ξ1，ξ2，…，ξN的分布相同，ξi具有有限的數(shù)學(xué)期望E（ξi）=a，i=1，2，…，N，則根據(jù)柯欠莫哥洛夫大數(shù)定律，對于任意的ε＞0，當(dāng)N→∞時(shí)，變量ξi 將以概率1收斂于期望值 a，即地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理在蒙特卡羅方法中，采用簡單抽樣方法進(jìn)行隨機(jī)變量的數(shù)字模擬，因此其所抽取的子樣為具有同分布性質(zhì)的獨(dú)立隨機(jī)變量，當(dāng)抽取的樣本個數(shù)足夠大時(shí)，樣本均值將以概率1收斂于分布均值，而事件 A 出現(xiàn)的頻率則以概率收斂于事件A 出現(xiàn)的概率，這樣就保證了蒙特卡羅方法的概率收斂性。

18、2.1.1 均勻分布隨機(jī)數(shù)的生成根據(jù)所求解問題性質(zhì)的不同，其基本隨機(jī)變量可能屬于不同的概率分布，為了產(chǎn)生不同分布類型的隨機(jī)變量的抽樣值（隨機(jī)數(shù)），一般需先產(chǎn)生一個在［0，1］上均勻分布的隨機(jī)變量的抽樣值，然后按照給定的概率分布類型將其轉(zhuǎn)化為所需隨機(jī)變量的抽樣值。

19、因此，均勻分布隨機(jī)變量隨機(jī)數(shù)的生成是蒙特卡羅方法實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)。

20、利用數(shù)值法產(chǎn)生的均勻隨機(jī)變量的抽樣值稱之為偽隨機(jī)數(shù)，這是因?yàn)閿?shù)值方法的基礎(chǔ)是某一數(shù)學(xué)遞推公式，按這類遞推公式產(chǎn)生的抽樣與［0，1］均勻分布中的抽樣在統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上不可能完全相同。

21、數(shù)學(xué)遞推公式的一般形式是：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理式中：f（xn，xn-1，…，xn-k）——某一給定的函數(shù)形式。

22、根據(jù)這一函數(shù)式，當(dāng)給定一組初值，x0，x-1，…，x-k后，便可依次求出x1，x2，…，xm…最常用的（0，1）均勻分布隨機(jī)數(shù)生成的遞推公式有：（1）乘同余法。

23、用以產(chǎn)生（0，1）均勻分布隨機(jī)數(shù)的遞推公式為：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理式中：λ，M和x0——預(yù)先給定的常數(shù)。

24、式（2.4）的意義是指以 M 除以λxi-1后得到的余數(shù)記為 xi。

25、由于是余數(shù)，所以，即有：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理如此所得的隨機(jī)數(shù)序列r1，r2，…，ri為具有（0，1）均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

26、由式（2.4）不難看出，不同的xi最多只能有M個，相應(yīng)地不同的隨機(jī)數(shù)ri也最多只能有M個。

27、所以當(dāng)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)ri個數(shù)多于M個時(shí)，就會出現(xiàn)循環(huán)數(shù)，這樣，便再不能看成是隨機(jī)數(shù)。

28、為了使所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)能經(jīng)得住數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的獨(dú)立性和均勻性檢驗(yàn)，需要合理選擇隨機(jī)數(shù)生成參數(shù)x0，λ及M。

29、表2.1所列為幾個經(jīng)過檢驗(yàn)的參數(shù)，以供參考。

30、表2.1（2）混合同余法。

31、混合同余法的遞推公式為：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理通過適當(dāng)?shù)剡x取參數(shù)，可以改變偽隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

32、其他有關(guān)偽隨機(jī)數(shù)的生成技術(shù)讀者可參閱文獻(xiàn)［32，41］。

33、2.1.2 任意分布隨機(jī)數(shù)的生成任意分布隨機(jī)數(shù)的生成是以（0，1）均勻分布隨機(jī)數(shù)為基礎(chǔ)，通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換來形成。

34、可以證明有下列任意分布隨機(jī)數(shù)生成公式。

35、（1）（a，b）上均勻分布隨機(jī)數(shù)的生成公式為：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理（2）具有指數(shù)分布概率密度f（x）=λe-λx（x≥0）的隨機(jī)數(shù)生成公式為：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理（3）正態(tài)分布N（0，1）隨機(jī)數(shù)生成公式為：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理（4）正態(tài)分布N（μ，σ）隨機(jī)數(shù)生成公式為：將式（2.8）的xi代入式：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理即可得 N（μ，σ）分布隨機(jī)數(shù)上述各式中的ri 為（0，1）均勻分布隨機(jī)數(shù)。

36、2.1.3 隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)為了進(jìn)一步了解所生成的隨機(jī)數(shù)是否具有我們所需要的隨機(jī)數(shù)特性，往往需要對所生成的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)，均勻性檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)。

37、參數(shù)檢驗(yàn)主要是為了檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)的子樣均值和理論均值的差異是否顯著，（0，1）上均勻分布的隨機(jī)變量R的期望值和方差分別為：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理設(shè)隨機(jī)變數(shù)R共有n個觀測值r1，r2，…，rn，則由中心極限定理得知：式中：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理漸近服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（0，1），可以進(jìn)行 U 檢驗(yàn)。

38、當(dāng)給定顯著性水平后，即可根據(jù)正態(tài)分布表確定臨界值，據(jù)此判斷-r 與其期望值E（R）之差異是否顯著，從而決定能否把 r1，r2，…，rn看做是（0，1）均勻分布隨機(jī)變量 R 的n 個獨(dú)立取值。

39、均勻性檢驗(yàn)又稱頻率檢驗(yàn)，它檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)頻率與理論頻率的差異是否顯著。

40、把（0，1）區(qū)間分成 k 等份，以（i=1，2，…，k）表示第 i 個小區(qū)間，如 rs 是（0，1）上均勻分布的隨機(jī)變量 R 的一個取樣值，則它落在任一小區(qū)間的概率 Pi均勻等于這些小區(qū)間的長度，故 n 個值落在任一個小區(qū)間的平均數(shù)為mi=nPi=n/k，設(shè) n 個rs 值落入第i 個小區(qū)間有ni個，則統(tǒng)計(jì)量：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理漸近地服從χ2（k-1）分布。

41、據(jù)此可進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。

42、獨(dú)立性檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)r1，r2，…，中前后各數(shù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性是否顯著。

43、兩個隨機(jī)變數(shù)的相關(guān)系數(shù)反映它們之間的線性相關(guān)程度，若兩個隨機(jī)變數(shù)相互獨(dú)立，則它們的相關(guān)系數(shù)ρK=0，故可通過相關(guān)系數(shù)來檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)的獨(dú)立性。

44、設(shè)給定n個隨機(jī)數(shù)r1，r2，…，rn，前后距離為k的樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：式中：地下水系統(tǒng)隨機(jī)模擬與管理當(dāng)獨(dú)立性假設(shè)（ρ=0）成立時(shí)，則當(dāng) n 充分大（如 n＞50+k）時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 U=漸近地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），故可進(jìn)行 U 檢驗(yàn)。

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